Я ехал по Ленинграду в трамвае со своим племянником Мишей. Опустив в кассу 6 копеек, я оторвал два билета.
— Чур этот билет мой! — сказал Миша.
— Пожалуйста, бери любой из них. Они ведь совершенно одинаковые, с любым из них можно проехать весь маршрут.
— Одинаковые, да не совсем. Этот билет самый обыкновенный, на нем номер 286 357. А следующий билет с номером 286 358 — «счастливый», сумма первых трёх цифр совпадает с суммой последних трёх.
Тут я вспомнил, что уже не раз слышал о распространённом поверье: билет с одинаковыми суммами цифр приносит счастье. В данном случае Мише достался билет 286 358, в котором 2+8+6=3+5+8.

читать дальше— И часто тебе попадаются «счастливые» билеты? — спросил я.
— Да нет, очень редко. Примерно раз в месяц. А так как я езжу в институт и обратно каждый день, кроме выходных, то, значит, в среднем один «счастливый» билет приходится на 50 обычных.
— Чепуха, — вмешался один из наших попутчиков; — Я вошёл на предыдущей остановке и в той же кассе вытянул тоже «счастливый» билет — 286 349. Да и сейчас кто-то отрывает билет 286 367, тоже «счастливый»; скоро появится — 286 376, затем 286 385. Так что в каждом десятке билетов есть один «счастливый».
— Это не вполне верно, — возразил новый пассажир, оторвавший «счастливый» билет 286 367. — Ваш пример ничего не доказывает. В следующем десятке будет ещё один «счастливый» билет — 286 394. А затем «счастливых» билетов долго не будет, вплоть до номера 286 439, так что здесь между двумя «счастливыми» билетами будет интервал в 45 билетов. Таких примеров можно привести много. В этой же катушке билетов, начальные цифры которых 286, между билетами 286 097 и 286 169, то есть среди 71 билета, нет ни одного «счастливого».

— Вот я и говорю, — подхватил Миша, — в среднем один «счастливый» билет попадается на полсотни.
— Это тоже опрометчивое заявление, — заметил я. — Чтобы правильно отнетить на этот вопрос, нужно его исследовать. А сначала нужно точно его сформулировать. Скажем, так: сколько существует «счастливых» шестизначных чисел от 000 000 до 999 999, то есть чисел, у которых равны суммы цифр первых трёх и последних трёх разрядов?
— Ну что же, — сказал Миша после недолгого размышления, — я сейчас не могу точно ответить на этот вопрос, но могу описать способ, позволяющий его решить, по крайней мере, в принципе. Выпишем подряд все числа от 000 000 до 999 999 и проверим каждое из них. Таким образом мы сможем пересчитать число «счастливых» билетов.
— Да, такой метод решения возможен. Он называется методом перебора. Им можно решать задачи, в которых исследуются свойства конечного набора каких-либо чисел или других объектов. Однако метод перебора имеет два недостатка. Прежде всего, он очень трудоёмок. Рассуди сам, необходимо проверить миллион чисел. Если на проверку каждого из них тратить всего 1 секунду, то потребуется 1 000 000 секунд, то есть почти 278 часов. При восьмичасовой ежедневной работе это займет 35 дней.

— Но ведь можно поручить это электронной вычислительной машине!
— Можно, конечно, но стоит ли «палить из пушки по воробьям»? Кроме того, метод перебора имеет и другой недостаток, который сохраняется и при расчете на ЭВМ. При переборе получается решение только одной конкретной задачи, которое обычно не позволяет произвести обобщения или вскрыть какие-либо неизвестные закономерности. Поэтому-то переборные методы решения в известном смысле неинтересны.
— Разрешите мне опять вмешаться в ваш разговор, — сказал обладатель счастливого билета 286 367. — Я заинтересовался вашей задачей и уже нашел её решение, правда, не точное, а приближённое, вернее то, что мы, математики, называем оценкой. Да, я не представился, зовут меня Георгий Владимирович, я доцент кафедры математики одного из технических вузов. Так вот, молодой человек, — обратился он к Мише, — давайте введём новое определение «счастливого» билета, или, лучше даже, введём новый термин, например, «красивый» билет. Будем называть билет «красивым», если сумма первых трёх цифр даёт тот же остаток при делении на 9, что и сумма следующих трёх цифр. Понятно?
— Понятно, — ответил /Миша, — но почему именно на 9?
— А потому, что в нашей десятичной системе счисления всякое число даёт тот же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Это свойство даёт возможность легко найти число «красивых» билетов. Действительно, среди чисел от 1 до 999 ровно 111 дают при делении на 9 остаток 1, столько же остаток 2, и так далее.

Сколько же существует различных «красивых» чисел с остатком 1? На первом месте может стоять 111 чисел и для каждого из них следом можно поставить любое из тех же 111 чисел. Таким образом, получаем 111·111 = 12 321 «красивых» билетов с остатком 1. Такое же число «красивых» билетов дают остатки 2, 3 и так далее. А к числам с остатком 0 или, как мы привыкли говорить, делящимся без остатка, нужно еще прибавить число 000, поэтому их будет не 111, а 112, откуда следует, что «красивых» чисел с остатком 0 будет 112·112 = 12 544. Итак, всего «красивых» чисел будет 8·12 321 + 12 544 = 111 112.
— А при чём же здесь «счастливые» билеты? — спросил Миша.
— Это уже совсем просто! Ведь если равны суммы цифр, то равны и их остатки при делении на 9, следовательно, каждый «счастливый» билет является «красивым». Однако не всякий «красивый» билет будет «счастливым». Например, билет 100 748 будет «красивым», но не будет «счастливым». Итак, если обозначить число «счастливых» билетов через C, то можно написать неравенство

C < 111 112.

— Но это всё-таки не полное решение задачи, — сказал Миша. — Мы получаем, что «счастливых» билетов меньше 111 112, но не знаем, насколько. А можно ли показать, что их больше какого-то числа? Я слышал, что это называется «оценкой снизу».
— Можно дать и оценку снизу,— ответил Георгий Владимирович,—боюсь только, что она будет довольно грубой. Назовём «прекрасными» билетами такие, у которых номер состоит из двух совершенно одинаковых половинок, например 287 287. Таких билетов ровно 1000, а именно, 000 000, далее 001 001, 002 002, ... до 999 999. «Прекрасных» билетов, естественно, меньше, чем «счастливых», поэтому мы можем записать такую оценку:

1000 < C < 111 112.

Здесь оценка сверху более чем в 100 раз превышает оценку снизу, так что вряд ли такой результат можно считать решением поставленной задачи.

— Пожалуй, оценку сверху можно несколько улучшить, — сказал я, — используя признак делимости на 11.
— Что это за признак? — спросил Миша. — Мы его не проходили.
— Он очень прост. Сложим все цифры, стоящие в нечётных разрядах, потом отдельно сложим числа, стоящие в чётных разрядах. Так вот, если разность полученных сумм делится на 11, то и всё число делится на 11, и наоборот, любое число, делящееся на 11, обладает этим свойством.
— Какое же отношение этот признак имеет к «счастливым» билетам?— удивлённо спросил Миша.
— Самое прямое, но скажи сначала, слышал ли ты о билетах, «счастливых по-московски»?
— Ах, да! Москвичи считают билет «счастливым», если сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Вот чудаки!

— Во-первых, чудаком являешься ты, если веришь, что «счастливые» билеты могут приносить удачу, а во-вторых, москвичи называют «счастливыми» те же самые билеты, что и ленинградцы, а билеты, которые мы называем «счастливыми по-московски», они называют «счастливыми по-ленинградски». Так «американские горки» в Америке называют «русскими». Но не в этом дело. Совсем легко проверить, что номера билетов, которые ты называешь «счастливыми по-московски», делятся на 11. Верно?
— Верно, — ответил Миша.
— И этих билетов не больше, чем чисел от 0 до 999 999, делящихся на 11.
— То есть не больше 90 910! — воскликнул Георгий Владимирович.
— А каких билетов больше, — спросил Миша, — «счастливых» или «счастливых по-московски»?
— Совсем нетрудно установить, что одних столько же, сколько и других, — ответил я.
— Скажете тоже, «нетрудно», — хмыкнул Миша, — мы же не знаем, столько тех и других.
— А это и не нужно, — заметил Георгий Владимирович. — Расставь первые три цифры «счастливого» билета на чётные места, последние три цифры на нечётные места, и ты получишь из «счастливого» билета билет, «счастливый по-московски». И обратно, если у билета, «счастливого по-московски», собрать все цифры, стоящие на чётных местах, в первой половине номера, а остальные — во второй, то ты получишь «счастливый» билет. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между теми и другими билетами. А отсюда следует, что их одинаковое количество. Верно?

«Счастливый»

билет 286358

«Счастливый по-московски»

билет 238568

— Верно! —воскликнул Миша.— Вот здорово! Значит, мы доказали, что «счастливых» билетов меньше, чем 90 910.
— А какова будет сумма цифр у номера, если в «счастливом» билете заменить три последние цифры на разности между 9 и этими цифрами?— спросил Георгий Владимирович.

— Сейчас, — задумался Миша, — та-а-к, ... трижды девять — двадцать семь... минус... плюс... Получается 27! А ведь опять получается взаимно однозначное соответствие! Георгий Владимирович, отсюда следует, что «счастливых» билетов столько же, сколько билетов с суммой цифр 27.
— Правильно, — ответил он.
— Но сколько же все-таки «счастливых» билетов? — взглянув на меня, спросил Миша.
— Ответ я тебе скажу сейчас: 55 252, то есть в среднем каждый 18-й билет «счастливый». А почему их столько, я расскажу тебе как-нибудь в следующий раз. Прощайся с Георгием Владимировичем и пойдём — нам пора выходить.

Здесь больше, но тут и математики больше: интегралы там всякие, ряды...) Но прикольно же)